lunes, 5 de marzo de 2012

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Las tangentes a la parábola desde un punto de la misma




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La parábola es una curva plana en la que los puntos cumplen la condición de equidistar de una recta llamada directriz y de otro punto llamado foco C.
Si desde un punto exterior D hacemos una recta tangente a la parábola tenemos que esta recta es la bisectriz de las rectas anteriores, la que une el punto de tangencia E con el foco C y la perpendicular desde el punto de tangencia E a la directriz AB.




Tangente y normal a la parábola 




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En la figura podemos observar la parábola en color magenta y un punto D de la misma por el que se traza una tangente. Desde este punto hacemos una perpendicular a la directriz y un segmento que une el punto con el foco C, como ya hemos visto estas distancias son iguales y la tangente es la bisectriz de ambas líneas. Como novedad tenemos que la otra bisectriz de ambas líneas, en color verde, es la normal a la tangente en ese punto D.





3 Tangentes a la parábola desde un punto exterior - GeoGebra Hoja Dinámica






3 Tangentes a la parábola desde un punto exterior



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Para construir las tangentes a la parábola desde un punto exterior C, dibujamos una circunferencia cuyo centro sea este punto exterior y como radio tomamos la distancia desde este punto hasta el foco, de esta manera construimos la circunferencia verde. Esta circunferencia corta a la directriz en D E. Estos puntos nos unimos con el foco obteniendo dos rectas, de las que construimos las mediatrices o segmentos perpendiculares a las mismas por los puntos medios. Por los puntos DE construimos dos rectas perpendiculares a la directriz obteniendo en la intersección con las dos mediatrices los puntos de tangencia FG de las tangentes a la parábola.










4 Tangente a una parábola dada una dirección - GeoGebra Hoja Dinámica






4 Tangente a una parábola dada una dirección



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Dado una parábola y una recta exterior CD, se trata de calcular una recta tangente a la parábola que sea paralela a la recta dada.
Se traza desde el foco una recta perpendicular a esta recta dada CD, la perpendicular corta a la directriz en el punto F.
 La mediatriz del segmento que definen los puntos  Foco-F  es la tangente a la curva parabólica. Para determinar el punto de tangencia se traza por F una perpendicular a la directriz hasta que corte a la tangente en el punto T, este es el punto de tangencia de la recta y la curva.


5 Tangente por el vértice - GeoGebra Hoja Dinámica






5 Tangente por el vértice



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Para dibujar la tangente a la parábola por el vértice tomamos un punto cualquiera C de la parábola y lo unimos con el foco al tiempo que hacemos una recta perpendicular a la directriz desde este punto obteniendo en su intersección el punto D. Construimos las bisectrices (en color verde) y tenemos que una de ellas, la tangente, corta a la recta D-foco en un punto E  que unimos con el vértice de la parábola y tenemos de esta forma la tangente en ese punto.


6 Tangentes a la parábola desde un punto exterior - GeoGebra Hoja Dinámica






6 Tangentes a la parábola desde un punto exterior



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Para construir las rectas tangentes a la parábola desde un punto exterior C, unimos este punto C con el foco y tomamos este segmento como diámetro de una nueva circunferencia (en color verde). Esta circunferencia corta a la perpendicular al eje de la parábola por el vértice en los puntos DE. Uniendo el punto exterior dado con estos puntos DE dibujamos las tangentes a la parábola. Para determinar los puntos de tangencia construimos los puntos simétricos del foco respecto a las dos tangentes, obteniendo ambos puntos sobre la directriz. Por estos nuevos puntos llamados focos’ dibujamos rectas perpendiculares a la línea directriz hasta que cortan a las tangentes en T1 T2.



7 Tangente a una parábola dada una dirección 2 - GeoGebra Hoja Dinámica






7 Tangente a una parábola dada una dirección 2



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Para construir una recta tangente a la parábola dada una dirección DC, dibujamos una recta perpendicular desde el foco de la parábola a esa dirección obteniendo en la intersección con la directriz un punto G desde el que construimos una recta perpendicular a la directriz. Por el vértice de la parábola hacemos una recta perpendicular al eje de la misma (el eje es la recta que pasa por el vértice  y por el foco). En la intersección de la recta perpendicular a la recta dada desde el foco con la recta vertical que pasa por el vértice obtenemos el punto F, por el que hacemos una recta paralela a la dirección dada obteniendo así la tangente a la parábola. Para determinar el punto de tangencia construimos una recta perpendicular desde el punto G (intersección de la recta que pasa por el foco y por F con la directriz) obteniendo en la intersección con la tangente el punto de tangencia H.